Matematika

Turunan Fungsi: Definisi, Sifat, Rumus, Aplikasi

Halo sahabat Edura! Kali ini admin akan melanjutkan materi matematika. Materi yang akan diberikan kali ini adalah Turunan Fungsi. Admin akan menyampaikan dari Definisi, Sifat-sifat, Rumus, dan Aplikasinya.

Definisi

Turunan fungsi memiliki definisi yaitu pengukuruan dimana hasil dari fungsi akan berubah sesuai dengan variabel yang kita masukan, atau secara umum suatu besaran yang berubah seiring perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut sebagai diferensiasi.

Turunan pertama fungsi y terhadap x didefinisikan sebagai:

    \[  y' = f '(x) = \frac {dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \]

Nilai fungsi turunan f‘ untuk x = a adalah

    \[ f '(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} \]

Sifat-sifat

y =c \rightarrow y' = 0

y =c.V \rightarrow y' = c.V'

y =U \pm V \rightarrow y' =U' \mp V'

y =U.V \rightarrow y' = U'.V+U.V'

y =\frac{U}{V} \rightarrow y' = \frac{U'.V+U.V'}{V^2}

y = U^n \rightarrow y'=n.U^{n{−1}}.U'

Rumus

Setelah membahas mengenai Definisinya. Sekarang akan kita terangkan mengenai rumus-rumus turunan fungsi yang meliputi fungsi pangkat f(x)=x^n , hasil kali fungsi f(x) = u(x) . v(x), hasil pembagian fungsi  f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, dan pangkat dari fungsi f(x) = (u(x))^n .

Turunan fungsi pangkat

Turunan fungsi pangkat (f(x)=x^n) dapat menggunakan rumus berikut ini.

    \[ f '(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \]

berikut ini penjelasannya

    \[ f '(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h)^n − f(a)^n}{h} \]

    \[ = \lim_{h \to 0} \frac{\sum_{i=1}^{n}{C_i^n x^{n-i}h^i-x^n}}{h} \]

    \[ = \lim_{h \to 0} \frac{C_0^n x^n+C_1^n x^{n-1}h+C_2^n x^{n-2}h^2+......+C_n^n h^n-x^{n}}{h} \]

    \[ = \lim_{h \to 0} \frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+......+h^n-x^n}{h} \]

    \[ = \lim_{h \to 0} \frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+......+h^n}{h} \]

    \[ = \lim_{h \to 0} \frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+......+h^{n-1}}{h} \]

    \[ = nx^{n-1}+0+0+0+......+0=nx^{n-1}\]

Jadi, rumus dari turunan fungsi pangkat adalah

    \[ f'(x) = nx^{n-1} \]

Turunan hasil kali fungsi

Rumus untuk turunan hasil kali fungsi (f(x)+=+u(x)+\cdot+v(x)) dapat adalah berikut ini.

    \[ f '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \]

    \[ \lim_{h \to 0} = \frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h} \]

    \[ \lim_{h \to 0} = \frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+x)v(x)+u(x+x)v(x)-u(x)v(x)}{h} \]

    \[ = \lim_{h \to 0} \frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+x)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h} \]

    \[ = \lim_{h \to 0} \frac{[u(x+h)v(x+h)-v(x)]}{h}+\frac{[u(x+x)v(x)-u(x)v(x)]}{h} \]

    \[ = \lim_{h \to 0} u(x+h). \lim_{h \to 0} \frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}.\lim_{h \to 0}v(x) \]

    \[ = u(x+0).v'(x)+u'(x).v(x) \]

    \[ u'(x).v(x)+u(x).v'(x) \rightarrow{atau} u'.v+u.v'\]

Jadi, kita dapatkan rumus turunan hasil kali fungsi adalah

    \[ f'(x) = u'v+uv' \]

Turunan fungsi pembagian

Fungsi f(x) yang terbentuk dari pembagian fungsi u(x) dan v(x) atau f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, turunannya didapat dengan:

    \[ f '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \]

    \[ f '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \rightarrow{menjadi} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x+h}{x+h}-\frac{v(x)}{v(x)}}{h} \]

Sehingga menjadi

    \[ f'(x) = \lim_{g \to 0} \frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+th)}{h.v(x+h)v(x)} \]

    \[ =\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)} \]

    \[ =\lim_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)} \]

    \[ =\lim_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h)v(x)}-\lim_{h\to0}\frac{u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h \cdot v(x+h)v(x)} \]

    \[ = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h \to 0}\frac{v(x)}{v(x+h)v(x)}-+\lim_{h \to 0}\frac{u(x)}{v(x+h)v(x)}.\lim_{h \to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h} \]

    \[ = u'(x).\frac{v(x)}{v(x+0)v(x)}-\frac{u(x)}{v(x+0)v(x)}\cdot v'(x) \]

    \[ = \frac{u'(x)v(x)}{v(x)v(x)}-\frac{u(x)v'(x)}{v(x)v(x)}\rightarrow\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(u(x))^2}\rightarrow\frac{u'v-uv'}{v^2} \]

Jadi, kita dapatkan rumus turunan hasil pembagian fungsi adalah

    \[f'(x)+=+\frac{u'v-uv'}{v^2}\]

Turunan fungsi pangkat

Fungsi f(x) Turunan yang terbentuk dari hasil pangkat (f(x)=(u(x))^n)

Ingat kembali jika f(x)=x^n, maka:

    \[ f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\frac{dx^n}{dx}=nx^{n-1} \]

Dan karena f(x)=(u(x))^n=u^n, maka:

    \[ f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\frac{du^n}{dx}\cdot\frac{du}{du} \]

Atau

    \[ f'(x)=\frac{du^n}{du}\cdot\frac{du}{dx}=nu^{n-1}\cdot u' \]

Jadi rumus turunan fungsi pangkat adalah

    \[ f'(x)=nu^{n-1}+\cdot+u' \]

Turunan Fungsi Aljabar

f(x) = c \rightarrow f '(x) = 0

f(x) =x^n \rightarrow f '(x) = n.x^{n{-1}}

f(x) = ax^n \rightarrow f '(x) = anx^{n-1}

f(x) = ln x \rightarrow f '(x) = \frac{1}{x}

Turunan Fungsi Trigonometri

f(x) = sin xf '(x) = cos x
f(x) = cos xf '(x) = -sin x
f(x) = tan xf '(x) = sec2 x
f(x) = cot xf '(x) = -cosec2 x
f(x) = sec xf '(x) = sec x tan x
f(x) = cosec xf '(x) = -cosec xcot x

Untuk U = U (x), dapat dirumuskan menjadi:

f(x) = sin uf '(x) = u' cos u
f(x) = cos uf '(x) = -u' sin u
f(x) = tan uf '(x) = u' sec^2 u
f(x) = cot uf '(x) = -u' cosec^2 u
f(x) = sin^n uf '(x) = n.sin^{n - 1} u. (u' cos u)
f(x) = cos^n uf'(x)= -n.cos^{n - 1} u. (u' sin u)

Aplikasi

Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva

Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva
Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva

Titik (x1,y1) adalah titik singgung garis g dengan kurva y = f (x).
Gradien (kemiringan) garis singgung kurva y = f (x) adalah m = f '(x1) maka persamaan garis singgungnya: y - y1 = m (x - x1)

Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi akan naik jika f ‘(x) > 0 dan fungsi akan turun jika f ‘(x) < 0.

Menentukan Titik Stasioner

Fungsi y = f(x) mengalami stasioner jika f ‘(x) = 0 dan terdapat titik-titik stasioner.Jenis-jenis titik stasioner:

  • Titik balik maksimum
    Syarat: f '(x) = 0 dan f ''(x) < 0
  • Titik balik minimum
    Syarat: f '(x) = 0 dan f ''(x) > 0
  • Titik belok horizontal
    Syarat:f '(x) = 0 dan f ''(x) = 0

Menyelesaikan Soal-Soal Terapan

Langkah-langkah menentukan maksimum dan minimum dalam soal-soal terapan.

  1. Tuliskan rumus apa yang maksimum atauminimum dalam soal tersebut.
  2. Jika rumus maksimum dan minimum tersebut lebih dari satu variabel maka jadikan satu variabel dengan persamaanlain.
  3. Tentukan kondisi stasioner fungsi
  4. Jawablah yang ditanyakan soal.

Contoh Soal & Pembahasan

Berikut ini admin akan memberikan contoh soal beserta pembahasannya ya.

Soal 1

Tentukanlah turunan fungsi dari f(x) = 2x(x4 - 5)

Jawab

Misalkan jika u(x) = 2x dan v(x) = x4 - 5, maka:

u' (x) = 2 dan v' (x) maka = 4x3

Dengan begitu, akan didapatkan penjabaran serta hasilnya:

f'(x) = u '(x).v(x) + u(x).v '(x)

= 2(x4 - 5) + 2x(4x3 )

= 2x4 - 10 + 8x4

= 10x4 - 10

Soal 2

Turunan dari f(x) = (x - 1)^2(2x + 3) adalah…

Jawab

u = (x − 1)^2  ⇒ u' = 2x − 2

v = 2x + 3    ⇒ v' = 2

f '(x) = u'v + uv'

f '(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)^2. 2

f '(x) = 4x^2 + 2x − 6 + 2(x^2 − 2x + 1)

f '(x) = 4x^2 + 2x − 6 + 2x^2 − 4x + 2

f '(x) = 6x^2 − 2x − 4

f '(x) = (x − 1)(6x + 4) atau

f '(x) = (2x − 2)(3x + 2)

Kesimpulan

Turunan Fungsi ini bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari sebenernya, contohnya adalah ketika kita ingin mengetahui titik-titik stasioner dari sebuah grafik. Akan sangat berguna jika kalian ingin mendalami dunia data science.


Setelah mengetahui Fungsi Turunan, materi selanjutnya yang perlu kamu pelajari adalah Integral.

Sekian info tentang Turunan Fungsi: Definisi, Sifat, Rumus, Aplikasi

Informasi yang kami ambil dari beberapa sumber bacaan. Untuk konsultasi mengenai pendidikan atau lebih spesifiknya tentang materi sekolah . Kamu dapat menghubungi kami lewat akun instagram kami ya. Silakan klik disini untuk menghubungi kami lewat instagram.

Jangan lupa juga untuk subscribe newsletter dan mailing list kita untuk dapatkan info update yang akan kami kirim melalui browser notification dan email kamu.

Terima Kasih

Semangat mengejar cita-citamu yaa sobat Edura!

Tags

Abid Ra

Writer, Business Enthusiast, and Traveler

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close