Matematika

Induksi Matematika: Pengertian, Prinsip (Bagian 1)

Haloooo teman – teman Edura! Mimin kembali lagi nih dengan materi Matematika, seperti biasanya. Materi kali ini cukup seru untuk dipelajari, yaitu tentang Induksi Matematika. Induksi Matematika sangat berperan penting dalam membuktikan suatu pernyataan atau rumus matematika. Induksi Matematika juga dapat melatih kita berpikir secara logis dan sistematis. Penasaran dengan materinya? Yuk, kita simak bersama – sama pengertian dan prinsip Induksi Matematika!

Untuk teman – teman yang ingin mencari materi Matematika lainnya, bisa dicek disini ya!

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika adalah suatu metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Induksi matematika merupakan metode baku dalam pembuktian di bidang Matematika. Induksi matematika ini dapat meminimalisir langkah – langkah untuk membuktikan bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam himpunan kebenaran.

Induksi matematika hanya hanya digunakan untuk membuktikan kebenaran dari sebuah pernyataan atau rumus dan tidak bisa digunakan untuk menurunkan rumus. Berikut ini merupakan beberapa contoh dari pernyataan Matematika yang dapat dibuktikan kebenarannya dengan induksi matematika:

P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n+1), n bilangan asli.

P(n): 6^n + 4 habis dibagi 5, untuk n bilangan asli.

P(n): 4n < 2^n, untuk masing – masing bilangan asli n \geq 4.

Cara mudah untuk mengetahui bagaimana prinsip kerja induksi matematika yaitu dengan mengamati efek domino. Diawali dengan sebuah pertanyaan: “kapan seluruh domino akan jatuh?”

Efek Domino

Terdapat dua keadaan yang harus dipenuhi supaya seluruh domino di atas terjatuh.

  • Pertama: domino 1 harus jatuh.
  • Kedua: benar bahwa pada masing – masing domino yang jatuh akan menjatuhkan tepat satu domino selanjutnya. Hal ini berarti apabila domino 1 jatuh maka domino 2 pasti jatuh, apabila domino 2 jatuh makan domino 3 pasti jatuh, dan seterusnya. Pada umumnya dapat dikatakan bahwa “apabila domino k jatuh maka domino (k + 1) juga jatuh. Implikasi ini akan berlaku untuk seluruh domino.

Apabila kedua pernyataan di atas terpenuhi, maka dapat dipastikan bahwa seluruh domino akan jatuh.

Efek Domino

Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika memiliki langkah – langkah (prinsip) yang harus ditempuh untuk membuktikan bahwa kebenaran suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli. Berikut ialah prinsip – prinsip induksi matematika berdasarkan jenisnya:

Induksi Matematika Sederhana

Langkah – langkah induksi matematika sederhana:

  1. Langkah dasar: buktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk P(1) atau P(n).
  2. Langkah induksi: jika suatu pernyataan berlaku untuk P(1) atau P(n), maka pernyataan itu juga harus berlaku untuk P(k) atau P(k + 1).

Contoh:

Buktikan bahwa penjumlahan n bilangan asli berurutan berlaku:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n = \frac{n (n + 1)}{2}

Jawab:

1. Langkah dasar:

P(1) = \frac{1 (1 + 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1

Karena P(1) = 1 benar, maka berlaku P(n) benar.

2. Langkah induksi:

Jika P(1) benar, maka pernyataan tersebut harus benar untuk P(k + 1) dengan k \geq n.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + k = \frac{k (k + 1)}{2} benar,

Sehingga:

P(k + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + k + k + 1

P(k + 1 ) = \frac{k (k + 1)}{2} + k + 1

P(k + 1) = \frac{k (k + 1) + 2 (k + 1)}{2}

P(k + 1) = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}

Karena P(k + 1) mengikuti bentuk pernyataan P(n), maka P(k) bernilai benar. Sehingga pernyataan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n = \frac{n (n + 1)}{2} bernilai benar untuk semua bilangan n \geq 1.

Induksi Matematika Diperluas

Setiap pernyataan yang memuat n bilangan asli, ternyata tidak harus dimulai dari angka 1. Itulah sebabnya induksi matematika dapat diperluas dengan langkah – langkah berikut:

  1. Langkah dasar: buktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk P(m).
  2. Langkah induksi: buktikan bahwa jika pernyataan berlaku untuk P(k) dengan k \geq m, maka pernyataan tersebut juga berlaku untuk P(k + 1).

Induksi Matematika Kuat

Prinsip dasar pada induksi matematika kuat ini berbeda dengan sebelumnya. Jika sebelumnya kita hanya perlu membuktikan bahwa P(1) benar, maka pada induksi matematika kuat ini pernyataan harus bernilai benar untuk P(1), P(n + 1), P(n + 2), …, P(k). Selain itu, kita juga harus membuktikan pernyataan benar untuk P(k + 1). Berikut ini merupakan langkah – langkah yang harus ditempuh untuk membuktikan suatu pernyataan dengan induksi matematika kuat:

  1. Langkah dasar: buktikan bahwa P(n) benar.
  2. Langkah induksi: jika P(n), P(n + 1), P(n + 2), …, P(k) benar untuk k \geq n, maka gunakan hal itu untuk membuktikan bahwa P(k + 1) juga benar.

Nah, sekian materi tentang Induksi Matematika: Pengertian, Prinsip (Bagian 1). Untuk konsultasi mengenai pendidikan atau lebih spesifiknya tentang perkuliahan . Kamu dapat menghubungi kami lewat akun instagram kami ya. Silakan klik disini untuk menghubungi kami lewat instagram.

Jangan lupa juga untuk subscribe newsletter dan mailing list kita untuk dapatkan info update yang akan kami kirim melalui browser notification dan email kamu.

Terima kasih!

Yuk, semangat belajar! Terutama untuk kalian siswa – siswi kelas 12 yang sebentar lagi akan melaksanakan SBMPTN. Semoga sukses!

Tags

Adisty Danya Putri

Mahasiswa Matematika di Universitas Padjadjaran

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close