Matematika

Kaidah Pencacahan: Materi, Permutasi, Kombinasi, Contoh Soal

Halo Sahabat Edura! Gimana nih kabar puasanya? Semoga selalu lancar yaa! Nah, dalam peristiwa sehari-hari, pastinya kita sering menjumpai masalah-masalah yang berkaitan dengan menentukan atau menghitung berapa banyak cara atau pilihan yang mungkin terjadi dari suatu peristiwa atau kejadian.

Ternyata, daripada menghitung satu persatu kemungkinan yang ada, dalam matematika ada suatu rumus yang dapat menghitung kemungkinan tersebut dengan berbagai syarat yang harus dipenuhi. Rumus tersebut masuk ke dalam materi Kaidah Pencacahan. Yuk, simak materinya!

Kaidah Pencacahan

Kaidah pencacahan (counting rules) merupakan sebuah cara atau aturan untuk menghitung seluruh kemungkinan yang bisa terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Terdapat beberapa metode dalam kaidah pencacahan, diantaranya: Aturan Pengisian Tempat, Permutasi, dan Kombinasi.

Aturan Pengisian Tempat

Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a_1 cara yang berbeda, tahap kedua terdapat a_2 cara yang berbeda, dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n yang dapat terjadi dalam a_n cara yang berbeda, maka total banyaknya cara yang dapat terjadi dari peristiwa tersebut adalah a_1 \times a_2 \times … \times a_n.

Sebagai ilustrasi, misalkan seorang Mahasiswa memiliki 3 buah kemeja dan 2 buah celana yang masing-masing memiliki warna berbeda. Berapa pasangan warna kemeja dan celana yang dapat dibuat? Jika himpunan kemeja adalah k=(k_1,k_2,k_3) =3 dan himpunan celana adalah c=(c_1,c_2)=2, maka banyaknya pasangan warna kemeja dan celana yang dapat dibuat adalah:

    \[ a_k \times a_c=3 \times 2=6 \]

Permutasi

Permutasi adalah susunan yang berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan. Permutasi merupakan pola pengambilan yang memperhatikan urutan (dimana AB \neq BA). Dalam mempelajari permutasi, perlu dipahami terlebih dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan bulat 1 sampai n adalah n! (dibaca n faktorial), atau:

n!=n\times(n-1)\times(n-2)..........

Sebagai contoh, n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times........\times 2 \times 1

Berikut ini merupakan jenis – jenis permutasi:

Permutasi dari elemen, tiap permutasi terdiri dari elemen

Jika ada unsur yang berbeda diambil dari n unsur, maka banyaknya permutasi yang berbeda dari n unsur tersebut adalah:

    \[ P_n^n=n! \]

Sebagai contoh, seorang anak akan menata 5 gelas dengan warna berbeda di atas meja. Maka, banyaknya cara untuk menyusun gelas tersebut adalah:

P_5^5=5!=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120 cara

Permutasi dari n elemen, tiap elemen terdiri dari r unsur dari n elemen dengan \rleq n

Untuk semua bilangan positif n dan r (dengan \rleq n), banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah:

    \[ P_r^n=\frac{n!}{(n-r)!} \]

Rumus ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan pemilihan suatu jabatan kepengurusan, maupun peringkat dalam kejuaraan (dimana urutan diperhatikan).

Sebagai contoh, banyaknya cara untuk memilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara dari 7 siswa yang tersedia adalah:

Banyaknya siswa: n=7
Banyak pilihan objek (ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara): r=4
Maka, banyaknya cara yang bisa dipilih adalah:

    \[P_r^n=P_4^7=\frac{7!}{(7-4)!)}=\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!}=840\]

Permutasi dari n unsur yang mengandung p,q dan r unsur yang sama

    \[ P_{k_1,k_2,k_t}^{n} = \frac{n!}{k_1!k_2!…k_t!} \]

dimana:

n = banyaknya elemen keseluruhan
k_1 = banyaknya elemen kelompok 1 yang sama
k_2 = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama

k_t = banyaknya elemen kelompok t yang sama

Sebagai contoh, banyaknya cara untuk menyusun kata dari kata MISSISPPI adalah:
n = banyaknya huruf
k_1 =banyaknya huruf I
k_2 = banyaknya huruf S
k_3 =banyaknya huruf P
Maka,

    \[ P_{k_1,k_2,k_t}^{n} = P_{3,3,2}^{n} = \frac{9!}{3!3!2!}=5040_{cara} \]

Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).

    \[ P_{siklis}^{n} = (n-1)! \]

Sebagai contoh, 4 orang anggota keluarga akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Banyaknya cara susunan yang dapat dibuat adalah:
n= banyaknya anggota
Maka,

    \[P_{siklis}^n=P_{siklis}^n=(4-1)!=3!=3\times2\times1=6 cara\]

Kombinasi

Kombinasi merupakan suatu pengelompokan dari sebagian atau seluruh elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya (AB=BA). Kombinasi dari beberapa unsur yang berbeda yaitu:

    \[C_r^n=\frac{n!}{(n-r)!r!}\]

Sebagai contoh, kombinasi 2 elemen dari 3 huruf A, B, C adalah dan AB, AC, dan BC. Sedangkan BA, CA, dan CB tidak termasuk ke dalam hitungan karena AB=BA,AC, dan BC=CB. Banyaknya kombinasi adalah:

    \[C_{r}^n = C_{2}^{3} = \frac{3!}{(3-2)!2!}=\frac{3!}{1!2!}=3\]

Contoh Soal

Soal 1

Raden memiliki 3 buah sepatu, 5 buah kaos kaki, dan 2 buah tali sepatu. Berapa banyak cara Raden dapat memakai sepatu, kaos kaki, dan tali sepatu?

Jawab:
Himpunan sepatu:

    \[s=(s_1,s_2,s_3)=3\]


Himpunan kaos kaki:

    \[k=(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5)=5\]


Himpunan tali sepatu:

    \[t=(t_1,t_2)=2\]


Banyaknya cara:

    \[a_s\times a_k\times a_t=3\times 5\times 2 = 30_{cara}\]

Soal 2

Terdapat buah anggur, belimbing, manga, apel, jeruk, dan salak. Masing-masing buah akan disusun berjajar. Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari buah-buahan tersebut?

Jawab:
Banyaknya buah – buahan:n=6
Banyaknya susunan buah – buahan:

    \[P_n^n=P_6^6=6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720_{cara}\]

Soal 3

Dari 9 peserta Olimpiade Matematika Tingkat Kota, akan dipilih 3 juara, yaitu: juara 1, juara 2, dan juara 3. Ada berapa susunan berbeda yang dapat dibentuk?

Jawab:
Banyak peserta: n=9
Banyak pilihan objek (juara 1, juara 2, juara 3): r=3
Maka, banyaknya susunan berbeda yang dapat dibentuk :

    \[P_r^n=P_3^9=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9\times8\times7}{6!6!}= 504\]

Soal 4

Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata INDONESIA!

Jawab:
n= banyaknya huruf
k_1=banyaknya huruf I
k_2=banyaknya huruf N
Maka, banyaknya kata yang dapat dibentuk adalah:

    \[P_{k_1,k_2,k_3}^n=P_{2,2}^{9}=\frac{9!}{2!2!}=90720\]

Soal 5

Suatu kelompok arisan ibu-ibu memiliki 9 anggota. Apabila setiap arisan mereka duduk melingkar, ada berapa banyak posisi duduk ibu-ibu yang dapat dibentuk?

Jawaban:
n=banyaknya anggota
Maka, banyaknya posisi duduk yang dapat dibentuk adalah:

    \[P_{siklis}^n=P_{siklis}^9=(9-1)!=8!=40.320\]


Sekian Info dari kami tentang Kaidah Pencacahan: Materi, Permutasi, Kombinasi, Contoh Soal. Untuk konsultasi mengenai pendidikan atau lebih spesifiknya tentang perkuliahan . Kamu dapat menghubungi kami lewat akun instagram kami ya. Silakan klik disini untuk menghubungi kami lewat instagram.

Jangan lupa juga untuk subscribe newsletter dan mailing list kita untuk dapatkan info update yang akan kami kirim melalui browser notification dan email kamu.

Terima Kasih….

Semangat mengejar cita-citamu yaa sobat Edura !

Tags

Adisty Danya Putri

Mahasiswa Matematika di Universitas Padjadjaran

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close