Matematika

Integral: Rumus, Sifat, Tak Tentu, Tentu, Contoh Soal

Halo Sahabat Edura! Apa kabar? Semoga baik ya! Ketika membayangkan suatu persegi pasti yang kita pikirkan adalah identik dengan luas. Nah, ketika kita sudah menjadi suatu kubus, yang kita pikirkan pasti adalah identik dengan volume.

Tau ga si? Volume itu sendiri merupakan suatu integral dari luas. Loh kok bisa? Maka dari itu, kali ini admin akan membagikan materi matematika, yaitu Integral.

Pengertian Integral

\int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1 }+ C

Keterangan

k : koefisien
x : variabel
n : pangkat/derajat dari variabel
C : konstanta

Pengertian Integral secara sederhana yaitu invers (kebalikan) dari suatu turunan. Penjebaran lebih luasnya adalah sebuah konsep bentuk penjumlahan berkesinambungan dan bersama dengan inversnya.

Ide integral sendiri muncul ketika matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.

Sifat Integral

Berikut ini beberapa sifat integral.

\int_a^a f(x) \, dx = 0

\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx

\int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) dx

\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx

\int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx - \int_a^b g(x) \, dx

Jika a<b<c, maka

\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) + \int_b^c f(x)

Harap dicatat ya sifat integral diatas, akan sangat memudahkan nantinya untuk mengerjakan soal.

Jenis Integral

Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, terdapat 2 Jenis Integral, yaitu: Integral Tak Tentu dan Integral Tentu

Integral Tak Tentu

Integral Tak Tentu adalah pengintegralan fungsi f(x) apabila turunannya telah diketahui.

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Rumus

Berikut ini Rumus dari Integral Tak Tentu

\int f(x) \, dx = F(x) + C

Keterangan

f(x) = persamaan kurva
F(x) = luasan di bawah kurva f`(x)
C = konstanta

Sifat

Pada integral tak tentu berlaku sifat berikut

\int ax^n \,  dx = \frac{a}{n+1}x^(n+1)+C

\int k f(x) \, dx = k \int f(x) dx

\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx

\int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int_a^b g(x) \, dx

Contoh

Berikut ini contoh dari Integral Tak Tentu

\int (2x+5)dx = 2x^2+5x+c

\int (3x-3)dx = x^3-5x+c

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Pada fungsi trigonometri berlaku integral tak tentu sebagai berikut

\int cos x \, dx = sin x + C

\int sin x \, dx = - cos x + C

\int cos(ax+b)dx = \frac{1}{a}sin(ax+b)+C

\int sin(ax+b)dx = - \frac{1}{a}cos(ax+b)+C

Integral Tentu

Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a,b] maka \int_a^b f(x) \, dx disebut integral tertentu fungsi f dar a ke b. Dimana f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas.

Integral Tentu ini memiliki perbedaan yaitu sudah memiliki nilai tertentu karena sudah ditentukan batasanya.

Teorema dasar kalkulus untuk integral tertentu dinyatak sebagai berikut.

Rumus

Berikut ini rumus Integral Tentu

\int_{x=a}^{x=b} f(x) dx = \int F(b) - \int F(a) dx

Keterangan

f(x) = persamaan kurva
C = konstanta
F(b), F(a) : nilai integral untuk x = b dan  x = a

Sifat

Gunakanlah sifat dibawah ini untuk mempermudah pengerjaan soal nantinya ya.

\int_a^a f(x) \, dx = 0

\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx

\int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) dx

\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx

\int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx - \int_a^b g(x) \, dx

\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) + \int_b^c f(x)

Mencari nilai integral

Dalam menncari suatu nilai integral. Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya, diantaranya dengan Subtitusi, Eksponensial, Parisal, dan Pecahan.

Substitusi

Beberapa kasus dalam integral dapat kita selesaikan apabila terdapat perkalian fungsi dengan salah satu fungsi merupakan turunan fungsi yang lain

Contoh Soal

Perhatian contoh soal dibawah ini. Bagaimana kita menyelesaikan suatu fungsi menggunakan metode subtitusi

\int 4x^3(x^4-1)^4 \, dx = \int u^4 \, du
= \frac{1}{5}u^5
Karena u=x^4-1
\frac{1}{5}^5+C=\frac{1}{5}(x^4-1)^5+C
Jadi,
\int 4x^3(x^4-1)^4 \, dx =\frac{1}{5}(x^4-1)^5+C

Integrasi parsial

Integral parsial bisa kita gunakan untuk menyelesaikan soal perkalian antar integral. Secara umum rumusnya seperti dibawah ini

Rumus

\int U \, . \,dV = UV - \int V \, .\, dU

Keterangan

U, V = fungsi
dU, dV = turunan dari fungsi U dan turunan dari fungsi V

Contoh Soal

Berikut ini saya bagikan contoh soal beserta jawabannya.

\int U \, . \,dV = UV - \int V \, .\, dU
\int x sin2x \, dx = x . - \frac{1}{2} cos 2x - \int \frac{1}{2} cos 2x
- \frac{1}{2} x cos 2x + \int \frac{1}{2} cos 2x
- \frac{1}{2} x cos 2x + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} sin 2x + C
- \frac{1}{2} x cos 2x + \frac{1}{4} sin 2x + C

Eksponensial

Fungsi Eksponensial biasanya dilambangkan dengan e^x. Berikut ini rumusnya.

Rumus

\int e^x \, dx = e^x+C
\int e^(kx) \, dx = \frac{1}{k}e^x+C
\int k^x \, dx = \frac{k^x}{\ln k}+C

Keterangan

ex, ekx : fungsi eksponensial
C : konstanta

Contoh Soal

Berikut ini saya bagikan contoh soal beserta jawabannya.

\int (e^x)^-2 \, dx = ...
Misal : u=e^x
Maka:
du = e^x \, dx
du = u \, dx
\frac{1}{u}du=dx
Jadi,
\int (e^x)^{-2} \, dx
=\int (u)^{-2}.\frac{1}{u}du
=\int \frac{1}{u^2}.\frac{1}{u}du
=\int \frac{1}{u^3}du
=\int u^3 \, du
=- \frac{1}{2}u^2+c
Jadi nilai u adalah
= -\frac{1}{2}(e^x)^{-2}+c

Pecahan

Fungsi pecahan didefinisikan dengan \frac{f(x)}{g(x)}. Prinsip penyelesaian dengan fungsi pecahan ini adalah memecah beberapa fungsi yang rumit/komplek menjadi lebih sederhana. Berikut ini contohnya

Contoh Soal

\int \frac{1}{x^2-1}dx

Integral tersebut bisa kita uraikan seperti ini.

\int \frac{1}{x^2-1}dx = \int {1}{(x+1)(x-1)dx}

Dari uraian sebelumnya, sekarang kita bisa menyederhanakannya lagi dengan memecahnya seperti ini.

\frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}

\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} = \frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}

(A+B)x + B-A=1

Sehingga kita dapatkan:

B-A=1 dan A+B=0

Hasil akhirnya B=1/2 dan A=-1/2

Tabel Integral

Gunakan tabel dibawah ini untuk mempermudah kamu dalam mengerjakan soal-soal integral ya.

Integral fungsiHasil integral
 \int \sin x \, dx- \cos x
 \int \cos x \, dx\sin x + C
 \int \tan x \, dx\ln |sec \, x| + C
 \int \frac{1}{\sqrt(1-x^2)} x \, dx\arc sin \, x + C
 \int \frac{1}{\sqrt(1+x^2)} x \, dx\arc tan \, x + C
 \int \frac{1}{2\sqrt(x^2)-1} x \, dx\arc sec \, x + C
 \int \sinh x \, dx\cosh x + C
 \int \sinh x \, dx\sinh x + C

Contoh Soal

Selesaikan Integral berikut ini.

Soal 1

\int 8x^{3x} - 3x^{2x} + x + 5 \, dx

Jawaban

=\frac{8x^{3+1}}{3+1}-\frac{3x^{2+1}}{2+1}+\frac{1x^{1+1}}{1+1}+5x+c

=\frac{8x^{4}}{4}-\frac{3x^{3}}{3}+\frac{x^2}{2}+5x+c

=2x^4-x^3+\frac{1}{2}x^2+5x+c

Soal 2

\int (2x + 1) (x - 5) dx

Jawaban

\int 2x^2+x-10x-5+C

\int 2x^2+9x-5+C

\int \frac{2}{3}x^3+\frac{9}{2}x^2-5x+C

Kesimpulan

Berikut ini kesimpulannya

  • Secara sederhana integral merupakan invers (kebalikan) dari operasi turunan.
  • Terdapat 2 jenis integral, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
  • Beberapa cara untuk menyelesaikan kasus integral yaitu
    • Integral pecahan
    • Integral eksponensial
    • Integral substitusi
    • Integral parsial
  • Gunakanlah sifat-sifat integral untuk mempermudah pengerjaan soal integral

Sekian info tentang Integral: Rumus, Tak Tentu, Tentu, dan Contoh Soal

Informasi yang kami ambil dari beberapa sumber bacaan. Untuk konsultasi mengenai pendidikan atau lebih spesifiknya tentang materi sekolah . Kamu dapat menghubungi kami lewat akun instagram kami ya. Silakan klik disini untuk menghubungi kami lewat instagram.

Jangan lupa juga untuk subscribe newsletter dan mailing list kita untuk dapatkan info update yang akan kami kirim melalui browser notification dan email kamu.

Terima Kasih

Semangat mengejar cita-citamu yaa sobat Edura!

Tags

Abid Ra

Writer, Business Enthusiast, and Traveler

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close