Matematika

Induksi Matematika: Jenis – Jenis (Bagian 2)

Haloooo teman – teman Edura! Mimin kembali lagi nih dengan materi Matematika. Materi ini merupakan lanjutan dari materi sebelumnya, tentang Induksi Matematika: Pengertian, Prinsip (Bagian 1). Yuk, kita simak materinya tentang jenis – jenis Induksi Matematika!

Untuk teman – teman yang ingin mencari materi Matematika lainnya, bisa dicek disini ya!

Jenis – Jenis Induksi Matematika

Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, induksi matematika adalah suatu metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Induksi matematika merupakan metode baku dalam pembuktian di bidang Matematika. Induksi matematika ini dapat meminimalisir langkah – langkah untuk membuktikan bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam himpunan kebenaran.

Induksi matematika terbagi menjadi dua jenis, yaitu untuk membuktikan deret bilangan dan bilangan bulat hasil pembagian.

Deret Bilangan

Sebelum masuk pada pembuktian deret bilangan, ada beberapa hal yang perlu dipahami berkaitan dengan deret:

Jika P(n): u_{1} + u_{2} + u_{3} + … + u_{n} = S_{n}, maka:

P(1): u_{1} = S_{1}

P(k): u_{1} + u_{2} + u_{3} + … + u_{k} = S_{k}

P(k + 1): u_{1} + u_{2} + u_{3} + … + u_{k} + u_{k+1} = S_{k+1}

Contoh induksi matematika untuk deret bilangan:

1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + … + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2

Jawab:

1. Langkah dasar:

P(1) = \frac{1}{4} 1^2 (1+1)^2 = 1

Karena P(1) = 1 benar, maka berlaku P(n) benar.

2. Langkah induksi:

Jika P(1) benar, maka pernyataan tersebut harus benar untuk P(k + 1) dengan k \geq n.

1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + … + k^3 = \frac{1}{4} k^2 (k+1)^2 benar,

Sehingga:

P(k + 1) = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + … + k^3 + (k + 1)^3

P(k + 1 ) = \frac{1}{4} k^2 (k+1)^2 + (k + 1)^3

P(k + 1) = (k + 1)^2 [\frac{1}{4} k^2 + (k + 1)]

P(k + 1) = (k + 1)^2 [\frac{1}{4}(k^2 + 4k + 4)]

P(k + 1) = \frac{1}{4} . (k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)

P(k + 1) = \frac{1}{4} . (k + 1)^2 (k + 2)^2

Karena P(k + 1) mengikuti bentuk pernyataan P(n), maka P(k) bernilai benar. Sehingga pernyataan 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + … + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 bernilai benar untuk semua bilangan n \geq 1.

Bilangan Bulat Hasil Pembagian

Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Pernyataan “a habis dibagi b” bersinonim dengan:

  • a kelipatan b.
  • b faktor dari a.
  • b membagi a.

Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a.

Contoh induksi matematika untuk bilangan bulat hasil pembagian:

Buktikan bahwa 5^n - 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan positif n!

Jawab:

1. Langkah dasar:

P(1) = 5^1 - 1 = 4

Karena 4 habis dibagi 4 maka P(1) = 1 benar, sehingga berlaku P(n) benar.

2. Langkah induksi:

Jika P(1) benar, maka pernyataan tersebut harus benar untuk P(k + 1) dengan k \geq n.

P(k) = 5^k - 1 benar habis dibagi 4

Sehingga:

P(k + 1) = 5^{k+1} - 1

P(k + 1 ) = 5 \times 5^k - 1

P(k + 1) = (4 + 1) \times 5^k - 1

P(k + 1) = (4 \times 5^k) + (5^k - 1)

Karena 4 \times 5^k dan 5^k - 1 habis dibagi 4, maka 5^{k+1} - 1 habis dibagi 4. Sehingga pernyataan 5^n - 1 bernilai benar untuk semua bilangan positif n.


Nah, sekian materi tentang Induksi Matematika: Jenis – Jenis (Bagian 2). Materi sebelumnya dapat dilihat disini. Untuk konsultasi mengenai pendidikan atau lebih spesifiknya tentang perkuliahan . Kamu dapat menghubungi kami lewat akun instagram kami ya. Silakan klik disini untuk menghubungi kami lewat instagram.

Jangan lupa juga untuk subscribe newsletter dan mailing list kita untuk dapatkan info update yang akan kami kirim melalui browser notification dan email kamu.

Terima kasih!

Yuk, semangat belajar! Terutama untuk kalian siswa – siswi kelas 12 yang sebentar lagi akan melaksanakan SBMPTN. Semoga sukses!

Tags

Adisty Danya Putri

Mahasiswa Matematika di Universitas Padjadjaran

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close