Matematika

Eksponen: Pengertian, Rumus, Sifat-sifat, Soal

Halo temen-temen semua! Kali ini admin akan membagikan artikel mengenai Eksponen. Di artikel ini juga admin akan membagikan mengenai pengertian, rumus, sifat-sifat, soal beserta pembahasannya ya.

Btw, temen-temen udah pada tau belum nih apa itu Eksponen? Kalau belum yuk simak penjelasannya berikut ini.

Eh iya, buat temen-temen yang mau belajar materi lain matematika, bisa klik disini ya.

Pengertian

Bilangan eksponen meruapakan perkalian yang bilangan basisnya itu diulang-ulang, ya intinya angka yang dikali-kali terus. Nah, kita biasanya mengenal eksponen ini dengan nama pangkat.

Sebenarnya, untuk menguasai eksponen ini, kamu ga bisa dengan menghafal saja. Karena itu diartikel ini kami akan menjelaskan dengan terprinci dari Sifat-sifat sampai Soal & Pembahasannya.

Oke, sebelum melangkah terlalu jauh, admin akan tunjukin dlu bilangan eksponen secara umum ya! Yuk disimak.

Bilangan bereksponen (berpangkat) dinyatakan dengan:

    \[ a \times a \times a \times a \times a \times........\times a =a^n \]

Contoh: 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8

Notasi: an dibaca “a pangkat n”

  • a disebut bilangan pokok (basis)
  • n disebut bilangan pangkat

Sifat-Sifat

Untuk a, b, m, dan n anggota bilangan real berlaku sifat:

  1. a^m. a^n = a^{m + n}
    Contoh 4^5 . 4^3 = 4^{5+3} = 4^8
  2. a^m: a^n = a^{m - n}
    Contoh 4^5 : 4^3 = 4^{5-3} = 4^2
  3. 1 : a^n = a^{-n}
    Contoh \frac{1}{4^5} = 4^{-5}
  4. (a^m)^n = a{m \times n}
    Contoh (4^5)^3 = 4^{5 \times 3} = 4^15
  5. a^0 = 1; a \neq 0
    Contoh 3^0 = 1
  6. a^n. b^n = (ab)^n
    Contoh 4^3 . 2^3 = (4.2)^{3} = 4^2
  7. a^m : b^m = (a : b)^m
    Contoh 4^3 : 2^3 = (4:2)^{3}
  8. \sqrt[n]{a^m} =a^\frac{m}{n}
    Contoh \sqrt[3]{2^3} =2^\frac{3}{3}

Persamaan Eksponen

Pengertian

Pertama kita perlu tahu dulu, Apa itu Persamaan Eksponen? Jadi, Persamaan eksponen adalah persamaan yang pangkatnya atau bilangan pokok (basis) dan pangkatnya memuat suatu variabel

Untuk lebih mudah dalam memahaminya, admin berikan contoh berikut ini ya.

  1. 4^{2x-3}= 16^{x+5} \rightarrow   persamaan eksponen dengan pangkat mengandung variabel x
  2. (5x - 5)^x= (3x - 5)^{3x-4}  \rightarrow   persamaan eksponen dengan basis dan pangkat mengandung variabel x

Jadi, dalam sebuah eksponen. Terdapat 2 kemungkinan, yaitu: Bisa pangkatnya saja yang mengandung variebl ataupun pangkat dan basisnya, keduanya memiliki variabel.

Untuk variabelnya sendiri biasa dilambangkan dengan huruf. Sebetulnya huruf itupun bisa saja dai a sampai z. Namun, pada umumnya lambang yang digunakan adalah huruf x untuk varibel pertama dan huruf y untuk variabel kedua.

Nah gimana temen-temen, dari sini sudah pahamkan? Untuk selanjutnya, mari kita cari tahu bagaimana menyelesaikannya.

Penyelesaian persamaan eksponen merupakan suatu himpunan nilai x yang memenuhi semua persamaan eksponen tersebut, atau biasa kita sebut juga sebagai himpunan penyelesaian.

Untuk menyelesaikan suatu eksponen caranya itu beda-beda. Karena cara ini tergantung juga dari bagaimana bentuk persamaan eksponen tersebut.

Maka dari itu, sangat disarankan kamu hafal bentuk, sifat-sifat dari persamaan eksponen agar lebih mudah mengerjakan soal kedepannya ya.

Bentuk-bentuk

Berikut ini bentuk-bentuk persamaan eksponen. Harap dicatat ya

a^{f(x)} = 1f(x) = 0
a^{f(x)} = a^pf(x) = p
a^{f(x)} = a^{g(x)} f(x) = g(x)
a^{f(x)} = b^{g(x)} f(x) = 0
a^{2f(x)+b} +a{f(x)+c} +d=0
a^{2f(x).ab} +a^{f(x).ac}+d=0

Pertidaksamaan Eksponen

Pengertian

Sebetulnya yang membedakan dari persamaan eksponen dan pertidaksamaan eksponen terletak pada perbedaan tanda hubung.

Kalau dalam persamaan eksponen tanda hubungnya adalah “=” yang mana nilainya itu tidak ada batasannya sedangkan pertidak samaan eksponen itu menggunakan “<, >, ≤, ≥, atau ≠”.

Bentuk-bentuk

Berikut ini bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen. Harap dicatat ya

  1. Untuk 0 < a < 1 maka berlaku:
    a^{f(x)} \ge  a^{g(x)} ⇒ f(x) \le g(x)
    a^{f(x)} \lea^{g(x)} ⇒f(x)\ge g(x)
  2. Untuk a > 1 maka berlaku:
    a^{f(x)} \ge  a^{g(x)} ⇒ f(x) \ge  g(x)
    a^{f(x)} \le a^{g(x)} ⇒ f(x) \le g(x)

Contoh Soal

Berikut ini contoh soal eksponen, silakan dikerjakan ya.

  1. (6a^3)^2:2a^4= ......
  2. \sqrt[4]{2^3} = .....

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari soal berikut ini:

  1. 3^{3x+2} = 81
  2. 2^{2x+1}- 2^x- 6 = 0

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan

  1. 2^{2x+3}> 8^{x-5}

Pembahasan

Soal 1

= \frac{6^2.(a^3)^2}{2a^4}

= \frac{36.a^6}{2.a^4}

= 18a^2

Soal 2

Dengan menggunakan sifat

    \[ \sqrt[n]{a^m} =a^\frac{m}{n} \]

\sqrt[4]{2^3} = 2^\frac{3}{4}

Soal 3

Soal nomor 3 ini merupakan bentuk persamaan eksponen sederhana. Kalau kita liat balik ke bentuk dari persamaan eksponen. Maka untuk menyelesaikan ini kita menggunakan bentuk nomor 2 ya.

Jadi langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah menyamakan pangkat ruas kanan dan ruas kiri.

    \[a^{f(x)} = a^p, dengan f(x) = p\]

Langkah selanjutnya adalah kita samakan pangkat antara ruas kanan dan kiri ya.

3^{3x-2} = 3^4

3x-2=4

3x=6

x=2

Jadi, himpunan penyelesain dari 3^{3x+2} = 81 adalah x=2

Soal 4

Untuk soal nomor 4 ini

2^{2x+1}-2^x-6=0

2^2x.2^1-2^x-6=0

(2^x)^2.2^1-2^x-6=0, \text{misalkan y = 2^x}

2y^2-y-6=0

(2y+3)(y-2)=0

y=-\frac{3}{2} \text{atau} y=2

Untuk menguraikan persamaan pangkat eksponen tersebut kita gunakan sifat-sifat eksponen ya. Setelah menemukan nilai dari y, sekarang kita ubah nilai tersebut kedalam 2^x, sehingga:

Untuk y= -\frac{3}{2}

2^x=-\frac{3}{2} \rightarrow \text{tidak ada nilai x yg memenui}

Untuk y=2

2^x=2

x=1

Jadi himpunan dari persamaan 2^{2x+1}- 2^x- 6 = 0 adalah x=1

Soal 5

Karena soal ini merupakan pertidaksamaan eksponen. Maka hal pertama yang perlu diperhatikan adalah bilangan basisnya. Nah untuk lebih detailnya perhatikan berikut ini.

  1. Untuk 0 < a < 1 maka berlaku:
    a^{f(x)} \ge  a^{g(x)} ⇒ f(x) \le g(x)
    a^{f(x)} \lea^{g(x)} ⇒f(x)\ge g(x)
  2. Untuk a > 1 maka berlaku:
    a^{f(x)} \ge  a^{g(x)} ⇒ f(x) \ge  g(x)
    a^{f(x)} \le a^{g(x)} ⇒ f(x) \le g(x)

Nah untuk soal diatas tadi itu nilai basisnya adalah 2. Kok bisa? Yuk simak penjelasannya berikut ini.

2^{2x+3}> 8^{x-5}

2^{2x+3}> 8^{x-5} \rightarrow \text{samakan ruas kiri dan kanan}

2^{2x+3}> (2^3)^{x-5}

2^{2x+3}> 2^{3x-15}

2x+3> 3x-15

15+3> 3x-2x

18 > x

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen tersebut adalah x < 18.

Kesimpulan

Nah berikut ini kesimpulan yang dapat admin ambil ya. Untuk memudahkan dalam menyelesaikan soal persamaan eksponen kalian harus paham dengan rumusnya (bentuk, sifat, dll) dan jangan lupa untuk selalu melatih kemampuan kalian dengan mengerjakan soal-soal ya.


Sekian info tentang Eksponen: Pengertian, Rumus, Sifat-sifat, Soal

Belajar materi matematika lainnya disini ya.

Informasi yang kami ambil dari beberapa sumber bacaan. Untuk konsultasi mengenai pendidikan atau lebih spesifiknya tentang materi sekolah . Kamu dapat menghubungi kami lewat akun instagram kami ya. Silakan klik disini untuk menghubungi kami lewat instagram.

Jangan lupa juga untuk subscribe newsletter dan mailing list kita untuk dapatkan info update yang akan kami kirim melalui browser notification dan email kamu.

Terima Kasih

Semangat mengejar cita-citamu yaa sobat Edura!

Tags

Abid Ra

Writer, Business Enthusiast, and Traveler

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close