Matematika

Relasi: Pengertian, Cara Menyatakan, Sifat, Jenis

Halloooo teman – teman Edura! Gimana nih, kabarnya? Semoga selalu baik – baik saja ya! Mimin balik lagi nih, dengan salah satu materi Matematika, yaitu Relasi. Materi Relasi ini cukup banyak diterapkan ke dalam kehidupan sehari – hari, salah satunya untuk menghitung besarnya tabungan pada bulan atau tahun ke-sekian. Penasaran tentang pengertian relasi? Yuk, simak materinya!

Buat sobat edura yang ingin belajar Teori Peluang bisa kunjungi tautan berikut ini ya Teori Peluang.

Pengertian Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota – anggota himpunan A ke anggota – anggota himpunan B.

Sebagai contoh, misalkan dalam suatu kelas dilakukan pendataan mengenai ekstrakurikuler. Andre memilih ekstrakurikuler basket, Budi memilih ekstrakurikuler badminton, Caca memilih ekstrakurikuler renang, Didit memilih ekstrakurikuler musik, dan Ega memilih ekstrakurikuler basket dan sepak bola.

Dari keterangan tersebut, kita dapat mengelompokkan informasi yang ada ke dalam dua himpunan, yaitu himpunan himpunan siswa dan himpunan ekstrakurikuler. Relasi yang sesuai dengan keterangan tersebut adalah relasi “memilih ekstrakurikuler”.

Cara Menyatakan Relasi

Relasi dari dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu:

Diagram Panah

Diagram panah digambarkan dengan kurva tertutup untuk menunjukkan hubungan antara dua himpunan. Dalam diagram ini, hubungan ditunjukkan dengan adanya panah antara anggota himpunan yang satu dengan yang lainnya.

Contoh:

Dari contoh di atas, kita dapat menggambarkan relasi “memilih ekstrakurikuler” dengan menggunakan diagram panah, yaitu:
pengertian relasi
Contoh Diagram Panah

Diagram Cartesius

Digram cartesius digambarkan dengan dua sumbu vertikal (sumbu y) dan sumbu horizontal (sumbu x) serta titik potong dari kedua sumbu O (0,0) yang menjadi titik pusat dari diagram cartesius.

Contoh:

Diketahui himpunan A = {6, 8, 10, 12, 14} dan B = {2, 3, 5, 7}. Jika relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi “kelipatan dari”, maka kita dapat menggambarkan relasi tersebut menggunakan diagram cartesius, yaitu:
diagram cartesius
Contoh Diagram Cartesius

Himpunan Pasangan Berurutan

Selain menggunakan diagram panah dan diagram cartesius, relasi juga dapat dinyatakan dengan menggunakan himpunan pasangan berurutan. Dalam hal ini setiap pasangan antara anggota dari dua himpunan ditulis secara mendaftar.

Contoh:
Dalam suatu kelas dilakukan pendataan mengenai ekstrakurikuler. Andre memilih ekstrakurikuler basket, Budi memilih ekstrakurikuler badminton, Caca memilih ekstrakurikuler renang, Didit memilih ekstrakurikuler musik, dan Ega memilih ekstrakurikuler basket dan sepak bola. Maka kita dapat mengelompokkan informasi tersebut ke dalam dua himpunan, yaitu:

A = {Andre, Budi, Caca, Didit, Ega}
B = {Basket, Badminton, Renang, Musik, Sepak Bola}

Relasi A ke B merupakan relasi “memilih ekstrakurikuler”. Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurut, maka diperoleh:

Himpunan pasangan berurutan = {(Andre, Basket), (Budi, Badminton), (Caca, Renang), (Didit, Musik), (Ega, Basket), (Ega, Sepak Bola)}.

Sifat – Sifat Relasi

Relasi yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat, diantaranya:

Refleksif

Suatu relasi R pada himpunan A bersifat refleksif jika (a,a) \in R untuk setiap a \in A. dengan kata lain, suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak refleksif jika terdapat a \in A sedemikian hingga (a, a) \notin R.

Transitif

Suatu relasi R pada himpunan A bersifat transitif jika (a, b) \in R dan (b, c) \in R, maka (a, c) \in R, untuk a, b, c \in A.

Simetri dan Anti Simetri

Suatu relasi R pada himpunan A bersifat simetri jika (a, b) \in R, untuk setiap a, b \in A, maka (b, a) \in R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) \in R sementara itu (b, a) \notin R.

Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b \in A, (a, b) \in R dan (b, a) \in R berlaku hanya jika a = b. Perhatikan bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a \neq b.

Jenis – Jenis Relasi

Berikut ialah jenis – jenis relasi:

Relasi Invers

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang apabila dipertukarkan masih termasuk dalam R.

Contoh:

A = {1, 2, 3} ; B = {x, y}

R = {(1, x), (1, y), (3, x)} relasi dari A ke B

R^-1 = {(x, 1), (y, 1), (x, 3)} relasi invers dari B ke A

Relasi Simetrik

Misalkan R = (A, B, P(x, y)) suatu relasi. R disebut relasi simetrik, jika tiap (a, b)R berlaku (b, a)R. Dengan kata lain, R disebut juga relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.

Contohnya,

setiap kali kita menemukan pasangan dalam sebuah relasi, misalkan (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Jika tidak ada, maka relasi tersebut tidak simetrik.

Relasi Refleksif

Misalkan R = (A, A, P(x, y)) suatu relasi. R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a, a)R. Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika tiap – tiap anggota pada A berelasi dengan dirinya sendiri.

Contohnya,

diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan R = {(1, 1), (2, 3), (3, 3), (4, 2), (4, 4)}. Apakah R relasi refleksif? R bukan relasi refleksif, karena (2, 2) tidak termasuk dalam R. Jika (2, 2) termasuk dalam R, yaitu R_{1} = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 2), (4, 4)} maka R_{1} merupakan relasi refleksif.

Relasi Anti Simetrik

Suatu relasi R bisa disebut relasi anti simetrik jika (a, b)R dan (b, a)R maka a = b. Dengan kata lain, jika a, b \in A dan a \neq b maka (a, b)R atau (b, a)R, tetapi tidak keduanya.

Contohnya, misal R adalah suatu relasi pada himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R merupakan relasi anti simetrik sebab jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b.

Misalkan A = {1, 2, 3} dan R_{1} = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)}, maka R_{1} bukan relasi anti simetrik, sebab terdapat (2, 3)R_{1} dan (3, 2)R_{1}.

Relasi Transitif

Misalkan R relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku (a, b)R dan (b, c)R maka (a, c)R. Dengan kata lain, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.

Contohnya,

misal A = {a, b, c} dan R = {(a, b), (a, c), (b, a), (c, b)}. Maka, R bukan relasi transitif, karena (b, a)R dan (a, c)R terdapat dalam R tetapi tidak terdapat (b, c)R.

Perbedaan Relasi dan Fungsi

Secara sederhana, relasi dapat diartikan sebagai hubungan. Hubungan yang dimaksud yaitu hubungan antara daerah asal (domain) dan daerah kawan (kodomain). Sedangkan fungsi merupakan relasi yang memasangkan tiap anggota himpunan daerah asal ke tepat satu himpunan daerah kawannya.

Perbedaan antara relasi dan fungsi ada pada cara memasangkan anggota himpunan ke daerah asalnya. Pada relasi, tidak ada aturan khusus untuk memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal ke daerah kawan. Aturan hanya terikat atas pernyataan relasi itu sendiri. Setiap anggota himpunan daerah asal boleh mempunyai pasangan lebih dari satu atau boleh juga tidak mempunyai pasangan.

Sedangkan pada fungsi, tiap – tiap anggota himpunan daerah asal dipasangkan dengan aturan khusus. Aturan itu mengharuskan setiap anggota himpunan daerah asal mempunyai pasangan dan hanya tepat satu dipasangkan dengan daerah kawannya. Dengan kata lain, setiap relasi belum tentu fungsi, namun setiap fungsi pasti merupakan relasi.

Buat kalian yang ingin soal lengkap mengenai Turunan Fungsi pada matapelajaran Matematika Bisa kunjungi tautan berikut ini Soal Lengkap Statistika.


Nah, sekian materi tentang Relasi: Pengertian, Cara Menyatakan, Sifat, Jenis. Selanjutnya, kita akan membahas materi mengenai Fungsi! Untuk konsultasi mengenai pendidikan atau lebih spesifiknya tentang perkuliahan . Kamu dapat menghubungi kami lewat akun instagram kami ya. Silakan klik disini untuk menghubungi kami lewat instagram.

Jangan lupa juga untuk subscribe newsletter dan mailing list kita untuk dapatkan info update yang akan kami kirim melalui browser notification dan email kamu.

Terima kasih!

Yuk, semangat belajar! Terutama untuk kalian siswa – siswi kelas 12 yang sebentar lagi akan melaksanakan SBMPTN. Semoga sukses!

Tags

Adisty Danya Putri

Mahasiswa Matematika di Universitas Padjadjaran

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close