Matematika

Fungsi: Pengertian, Operasi, Sifat, Komposisi (Lengkap)

Haloooo teman – teman Edura! Kembali lagi dengan mimin disini yang setia membawa materi Matematika! Kali ini kita akan mempelajari materi mengenai Fungsi, materi yang masih berkaitan dengan materi Relasi sebelumnya.

Untuk teman – teman yang ingin mencari materi Matematika lainnya, bisa dicek disini ya!

Pengertian Fungsi

Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi (hubungan) dari himpunan A ke himpunan B dimana setiap x \in A dipasangkan (dihubungkan) dengan satu dan hanya satu y \in B. Jika fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan dengan lambang f : A \rightarror B (dibaca: f memetakan A ke B).

Contoh fungsi:

Contoh bukan fungsi:

Misalkan f adalah sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A ke himpunan B (f : A \rightarrow B), maka:

  1. Himpunan A dinamakan daerah asal (domain).
  2. Himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain).
  3. Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunan A dinamakan daerah hasil (range).

Contoh:

Contoh fungsi
Contoh fungsi

Tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi di atas! Nyatakan fungsi f sebagai pasangan bilangan berurutan!

Jawab:

Domain = {1, 2, 3}

Kodomain = {5, 6, 7}

Range = {5, 7}

f = {(1, 5), (2, 5), (3, 7)}

Operasi Aljabar pada Fungsi

Jika f suatu fungsi dengan daerah asal D_{f} dan g suatu fungsi dengan daerah asal D_{g}, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, dinyatakan sebagai berikut:

Penjumlahan

Penjumlahan f dan g ditulis f + g, didefinisikan sebagai (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal D_{f+g} = D_{f} \cap D_{g}.

Contoh:

Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x^2 - 7. Tentukan (f + g)(x)!

Jawab:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f + g)(x) = (x + 2) + (x^2 - 7)

(f + g)(x) = x + 2 + x^2 - 7

    \[(f + g)(x) = x^2 + x - 5\]

Pengurangan

Selisih f dan g ditulis f - g, didefinisikan sebagai (f - g)(x) = f(x) - g(x) dengan daerah asal D_{f - g} = D_{f} \cap D_{g}.

Contoh:

Diketahui f(x) = x^3 + 8x dan g(x) = 2x - 5. Tentukan (f - g)(x)!

Jawab:

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

(f - g)(x) = (x^3 + 8x) - (2x - 5)

(f - g)(x) = x^3 + 8x - 2x + 5

(f - g)(x) = x^3 + 6x +5

Perkalian

Perkalian f dan g ditulis f \times g, didefinisikan sebagai (f \times g)(x) = f(x) \times g(x) dengan daerah asal D_{f \times g} = D_{f} \cap D_{g}.

Contoh:

Diketahui f(x) = x - 3 dan g(x) = x^2 + 2x. Tentukan (f \times g)(x)!

Jawab:

(f \times g)(x) = f(x) \times g(x)

(f \times g)(x) = (x - 3) \times (x^2 + 2x)

(f \times g)(x) = x^3 + 2x^2 - 3x^2 - 6x

(f \times g)(x) = x^3 - x^2 - 6x

Pembagian

Pembagian f dan g ditulis \frac{f}{g}, didefinisikan sebagai (\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} dimana g(x) \neq 0, dengan daerah asal D_{\frac{f}{g}} = D_{f} \cap D_{g} - {x | g(x) = 0}.

Contoh:

Diketahui f(x) = x^2 - 9 dan g(x) = x + 3. Tentukan (\frac{f}{g})(x)!

Jawab:

(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

(\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}

(\frac{f}{g})(x) = \frac{(x + 3)(x - 3)}{x + 3}

(\frac{f}{g})(x) = (x - 3)

Sifat – Sifat Fungsi

Berikut ialah sifat – sifat yang dimiliki fungsi:

Fungsi Injektif (Fungsi Satu – Satu)

Jika fungsi f: A \rightarrow B dan untuk setiap b \in B hanya memiliki satu kawan saja di A, maka fungsi tersebut disebut dengan fungsi injektif atau fungsi satu – satu.

Contoh:

Contoh fungsi injektif
Contoh fungsi injektif

Fungsi Surjektif (Onto)

Jika fungsi f : A \rightarrow B dan untuk setiap b \in B mempunyai kawan di A, maka fungsi tersebut disebut dengan fungsi surjektif atau onto.

Contoh:

Contoh fungsi surjektif
Contoh fungsi surjektif

Fungsi Bijektif

Jika suatu fungsi bersifat injektif sekaligus surjektif, fungsi tersebut disebut dengan fungsi bijektif.

Contoh:

Contoh fungsi bijektif
Contoh fungsi bijektif

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama. Sebagai ilustrasi, kita misalkan fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja secara beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa f(x). Kemudian f(x) dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa g(f(x)).

Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi, merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan g \circ f sehingga:

(g \circ f)(x) = g(f(x))

Dengan syarat R_{f} \cap D_{g} \neq \varnothing.

Fungsi komposisi
Fungsi komposisi

Komposisi bisa terjadi lebih dari dua fungsi. Jika f : A \rightarrow B, g : B \rightarrow C, dan h : C \rightarrow D, maka h \circ g \circ f : A \rightarrow D dan dinyatakan dengan:

(h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x)))

Sifat – Sifat Fungsi Komposisi

Berikut ini merupakan sifat – sifat dari fungsi komposisi:

1. Operasi pada fungsi komposisi tidak bersifat komutatif

(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)

2. Operasi pada fungsi komposisi bersifat asosiatif

(h \circ g \circ f)(x) = (h \circ (g \circ f))(x) = ((h \circ g) \circ f)(x)

Fungsi Invers

Jika fungsi f : A \rightarrow B memiliki relasi dengan fungsi g : B \rightarrow A, maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis f^{-1} atau g = f^{-1}. Jika f^{-1} dalam bentuk fungsi, maka f^{-1} disebut fungsi invers.

Fungsi invers
Fungsi invers

Cara Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi y = f(x) dapat ditempuh dengan cara berikut ini:

  1. Ubah persamaan y = f(x) ke dalam bentuk x = f(y).
  2. Gantikan x dengan f^{-1}(y) sehingga f(y) = f^{-1}(y).
  3. Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa f^{-1}.

Contoh:

Tentukan invers dari x^2 - 2x + 4!

Jawab:

y = x^2 - 2x + 4

y = (x - 1)^2 + 3

(x - 1)^2 = y - 3

x - 1 = \pm \sqrt{y - 3}

x = \pm \sqrt{y - 3} + 1

Sehingga inversnya adalah f^{-1}(x) = \pm \sqrt{y - 3} + 1 dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Jenis – Jenis Fungsi

Berikut ini merupakan beberapa jenis fungsi, diantaranya:

Fungsi Konstan (Fungsi Tetap)

Sebuah fungsi f : A \rightarrow B disebut sebagai fungsi konstan jika dalam setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, dimana C merupakan bilangan konstan.

Contoh fungsi konstan
Contoh fungsi konstan

Fungsi Identitas

Fungsi identitas adalah fungsi dimana berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain dari fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal serta seluruh titik melalui ordinat yang sama. Fungsi identitas akan ditentukan oleh f(x) = x.

Contoh fungsi identitas
Contoh fungsi identitas

Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi f(x) = ax + b dimana a \neq 0 serta a dan b merupakan bilangan konstan. Grafik linear berbentuk garis lurus.

Contoh fungsi linear
Contoh fungsi linear

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi f(x) = ax^2 + bx + c, dimana a \neq 0, a, b, dan c merupakan bilangan konstan. Grafik kuadrat berbentuk seperti parabola.

Contoh fungsi kuadrat
Contoh fungsi kuadrat

Fungsi Tangga (Bertingkat)

Fungsi tangga adalah fungsi f(x) yang berbentuk interval sejajar.

Contoh fungsi tangga
Contoh fungsi tangga

Fungsi Modulus (Mutlak)

Fungsi modulus (mutlak) merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan real dari daerah asal suatu fungsi menjadi nilai mutlak.

Contoh fungsi modulus
Contoh fungsi modulus

Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Sebuah fungsi f(x) disebut sebagai fungsi ganjil apabila berlaku f(-x) = -f(x) serta disebut sebagai fungsi genap apabila berlaku f(-x) = f(x).

Apabila fungsi f(-x) \neq -f(x) dan f(-x) \neq f(x) maka fungsi tersebut bukan termasuk fungsi ganjil dan fungsi genap.

Contoh fungsi genap dan ganjil
Contoh fungsi genap dan ganjil

Nah, sekian materi tentang Pengertian Fungsi: Operasi, Sifat, Komposisi (Lengkap).

Terus latih kemampuan sobat dengan mengerjakan contoh soal matematika lengkap ditautan berikut ini Latihan Soal Matematika.

Untuk konsultasi mengenai pendidikan atau lebih spesifiknya tentang perkuliahan . Kamu dapat menghubungi kami lewat akun instagram kami ya. Silakan klik disini untuk menghubungi kami lewat instagram.

Jangan lupa juga untuk subscribe newsletter dan mailing list kita untuk dapatkan info update yang akan kami kirim melalui browser notification dan email kamu.

Terima kasih!

Yuk, semangat belajar! Terutama untuk kalian siswa – siswi kelas 12 yang sebentar lagi akan melaksanakan SBMPTN. Semoga sukses!

Tags

Adisty Danya Putri

Mahasiswa Matematika di Universitas Padjadjaran

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close